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2015年高考数学必考:方差公式

来源:网络整理 作者:佚名 更新时间:2014/9/25 字号:

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  一.方差的概念与计算公式
  
  例1两人的5次测验成绩如下:
  
  X:50,100,100,60,50E(X)=72;
  
  Y:73,70,75,72,70E(Y)=72。
  
  平均成绩相同,但X不稳定,对平均值的偏离大。
  
  方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
  
  方差即偏离平方的均值,记为D(X):
  
  直接计算公式分离散型和连续型,具体为:
  
  这里是一个数。推导另一种计算公式
  
  得到:“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
  
  其中,分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差,方差描述波动
  
  二.方差的性质
  
  1.设C为常数,则D(C)=0(常数无波动);
  
  2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);
  
  特别地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差无负值)
  
  方差公式:
  
  平均数:M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数,x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)
  
  方差公式:S²=〈(M-x1)²+(M-x2)²+(M-x3)²+…+(M-xn)²〉╱n
  
  三.常用分布的方差
  
  1.两点分布
  
  2.二项分布
  
  X~B(n,p)
  
  引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数,服从两点分布)
  
  3.泊松分布(推导略)
  
  4.均匀分布
  
  另一计算过程为
  
  5.指数分布(推导略)
  
  6.正态分布(推导略)
  
  7.t分布:其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
  
  8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
  
  正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度,即波动程度(随机波动),这与图形的特征是相符的。
  
  方差的定义:
  
  设一组数据x1,x2,x3······xn中,各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)²,(x2-x拔)²······(xn-x拔)²,那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。

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